Аналитическая математика
Задача № 1
Пусть . Найти: .
Решение.
Задача № 2
Исследовать функцию и построить ее график: .
Решение.
1) Область определения данной функции - вся числовая ось, т.к. дискриминант знаменателя , то он не обращается в нуль ни при каких значениях x.
2) Исследуем функцию на четность: , т.е. , т.е. данная функция не является ни четной, ни нечетной.
3) Найдем точки пересечения графика функции с осями координат:
- точка пересечения с осью , - с осью .
4) Асимптоты.
Т.к. функция определена на всей числовой прямой, то- вертикальных асимптот нет.
- наклонных асимптот нет.
Горизонтальные асимптоты:
- горизонтальная асимптота при
5) Экстремумы, промежутки возрастания и убывания.
Исследуем ее на возрастание и убывание на каждом промежутке:
6) Промежутки выпуклости, точки перегиба.
Уравнение не имеет рациональных корней. Корни ищем приближенно. Подбирая первый корень, получим, что при остаток равен 0,00005385, т.е. практически равен нулю.
Разделим трехчлен на :
Найдем корни полученного квадратного уравнения:
Вычислим значение функции в каждой полученной точке и округлим полученные значения:
Устанавливаем промежутки выпуклости графика функции и находим точки его перегиба.
|
|
-29,77
|
|
-2,71
|
|
2,48
|
|
|
|
-
|
0
|
+
|
0
|
-
|
0
|
+
|
|
|
|
-0,02
|
|
0,33
|
|
0,4
|
|
|
|
Выпукла вверх
|
Точка перегиба
|
Выпукла вниз
|
Точка перегиба
|
Выпукла вверх
|
Точка перегиба
|
Выпукла вниз
|
|
|
Схематичный график данной функции:
Задача № 3
Найти пределы.
Решение.
а)
т.к.
б)
т.к.
Задача № 4
Найти производные.
Решение.
Задача № 5
Вычислить площадь фигуры ограниченной кривой и осью .
Решение.
Данная кривая является параболой с вершиной в точке , осью симметрии и пересекает ось в точках .
Чтобы найти площадь, выразим сначала y через x:
Площадь найдем как удвоенный интеграл по верхней части кривой:
.
Ответ: Площадь фигуры ограниченной кривой и осью равна .
Задача № 6
Вычислить интегралы.
Решение.
Задача № 7
Устройство состоит из 5 элементов, из которых 2 изношены. При включении устройства включаются случайным образом 2 элемента. Найти вероятность того, что включенными окажутся неизношенные элементы.
Решение.
Задачу решим по формуле Бернулли .
У нас: .
Значит .
Ответ. Вероятность того, что включенными окажутся неизношенные элементы, равна 0,2304.
Задача № 8
Случайная величина X задана функцией распределения
Найти вероятность того, что в результате испытания величина X примет значение: а) меньше 0,2; б) меньше 3; в) не меньше 3; г) не меньше 5.
Решение.
а)
б) .
в) .
г) .
Задача № 9
Используя данные распределения по возрасту лиц, осужденных за тяжкие телесные преступления, вычислить следующие характеристики вариационного ряда: объем совокупности, относительные частоты, среднее значение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, максимальное и минимальное значение ряда, вариационный размах.
Таблица 1.
|
Возраст в годах, X
|
16
|
17
|
18
|
19
|
20
|
21
|
22
|
23
|
24
|
25
|
26
|
28
|
30
|
|
|
Число осужденных, m
|
3
|
5
|
8
|
10
|
8
|
6
|
5
|
4
|
3
|
2
|
4
|
2
|
1
|
|
|
Решение.
Объем совокупности равен 61, максимальная величина - 30, минимальная - 16, вариационный размах: 30 - 16 = 14.
При нахождении остальных характеристик, результаты вычислений будем заносить в таблицу 2. Чтобы найти относительную частоту, делят частоту данной варианты (графа 1) на объем совокупности, т.е. на . Результаты заносим в графу 3. Сумма относительных частот равна 1.
Таблица 2.
|
x
|
m
|
Относительные частоты
|
Среднее значение,
|
k
|
Дисперсия
|
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
|
|
16
|
3
|
0,04918
|
0,786885
|
0,234614
|
1,119226
|
|
|
17
|
5
|
0,081967
|
1,393443
|
0,309057
|
1,165296
|
|
|
18
|
8
|
0,131148
|
2,360656
|
0,363343
|
1,006639
|
|
|
19
|
10
|
0,163934
|
3,114754
|
0,290245
|
0,513876
|
|
|
20
|
8
|
0,131148
|
2,622951
|
0,101048
|
0,077857
|
|
|
21
|
6
|
0,098361
|
2,065574
|
0,022575
|
0,005181
|
|
|
22
|
5
|
0,081967
|
1,803279
|
0,100779
|
0,123909
|
|
|
23
|
4
|
0,065574
|
1,508197
|
0,146197
|
0,325948
|
|
|
24
|
3
|
0,04918
|
1,180328
|
0,158828
|
0,512937
|
|
|
25
|
2
|
0,032787
|
0,819672
|
0,138672
|
0,586516
|
|
|
26
|
4
|
0,065574
|
1,704918
|
0,342919
|
1,793295
|
|
|
28
|
2
|
0,032787
|
0,918033
|
0,237033
|
1,713632
|
|
|
30
|
1
|
0,016393
|
0,491803
|
0,151303
|
1,396456
|
|
|
У
|
61
|
1
|
20,7705
|
2,59661
|
10,34077
|
|
|
Дисперсию находим по формуле . Для этого в графу 6 заносим квадраты разностей отклонений, умноженные на соответствующие частоты и поделенные на объем совокупности. (Разность графы 1 и среднего значения возводим в квадрат, умножаем на графу 2 и делим на 61). Например, первая строка: . Затем суммируем по столбцу и получаем значение дисперсии: .
Среднее квадратическое отклонение равно корню квадратному из дисперсии, у нас .
Коэффициент вариации найдем по формуле: . В графу 5 будем заносить результаты деления на объем совокупности абсолютной величины отклонения, умноженную на соответствующую частоту. (Абсолютную величину разности графы 1 и среднего значения умножаем на графу 2 и делим на 61).Например, первая строка: .
Получили
Ответ. Объем совокупности равен 61, максимальная величина - 30, минимальная - 16,
вариационный размах - 14, относительные частоты - графа 3 таблицы 2, дисперсия ,
среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации .
|
|
|
