рефераты
рефераты
Поиск
Расширенный поиск
рефераты
рефераты
рефераты
рефераты
МЕНЮ
рефераты
рефераты Главная
рефераты
рефераты Астрономия и космонавтика
рефераты
рефераты Биология и естествознание
рефераты
рефераты Бухгалтерский учет и аудит
рефераты
рефераты Военное дело и гражданская оборона
рефераты
рефераты Государство и право
рефераты
рефераты Журналистика издательское дело и СМИ
рефераты
рефераты Краеведение и этнография
рефераты
рефераты Производство и технологии
рефераты
рефераты Религия и мифология
рефераты
рефераты Сельское лесное хозяйство и землепользование
рефераты
рефераты Социальная работа
рефераты
рефераты Социология и обществознание
рефераты
рефераты Спорт и туризм
рефераты
рефераты Строительство и архитектура
рефераты
рефераты Таможенная система
рефераты
рефераты Транспорт
рефераты
рефераты Делопроизводство
рефераты
рефераты Деньги и кредит
рефераты
рефераты Инвестиции
рефераты
рефераты Иностранные языки
рефераты
рефераты Информатика
рефераты
рефераты Искусство и культура
рефераты
рефераты Исторические личности
рефераты
рефераты История
рефераты
рефераты Литература
рефераты
рефераты Литература зарубежная
рефераты
рефераты Литература русская
рефераты
рефераты Авиация и космонавтика
рефераты
рефераты Автомобильное хозяйство
рефераты
рефераты Автотранспорт
рефераты
рефераты Английский
рефераты
рефераты Антикризисный менеджмент
рефераты
рефераты Адвокатура
рефераты
рефераты Банковское дело и кредитование
рефераты
рефераты Банковское право
рефераты
рефераты Безопасность жизнедеятельности
рефераты
рефераты Биографии
рефераты
рефераты Маркетинг реклама и торговля
рефераты
рефераты Математика
рефераты
рефераты Медицина
рефераты
рефераты Международные отношения и мировая экономика
рефераты
рефераты Менеджмент и трудовые отношения
рефераты
рефераты Музыка
рефераты
рефераты Кибернетика
рефераты
рефераты Коммуникации и связь
рефераты
рефераты Косметология
рефераты
рефераты Криминалистика
рефераты
рефераты Криминология
рефераты
рефераты Криптология
рефераты
рефераты Кулинария
рефераты
рефераты Культурология
рефераты
рефераты Налоги
рефераты
рефераты Начертательная геометрия
рефераты
рефераты Оккультизм и уфология
рефераты
рефераты Педагогика
рефераты
рефератыПолиграфия
рефераты
рефераты Политология
рефераты
рефераты Право
рефераты
рефераты Предпринимательство
рефераты
рефераты Программирование и комп-ры
рефераты
рефераты Психология
рефераты
рефераты Радиоэлектроника
рефераты
РЕКЛАМА
рефераты
 
рефераты

рефераты
рефераты
Зенон Элейский, его парадоксы и понятия бесконечности

Зенон Элейский, его парадоксы и понятия бесконечности

         

          З Е Н О Н   Э Л Е Й С К И Й ,  Е Г О   П А Р А Д О К С Ы

                  И    П О Н Я Т И Е   Б Е С К О Н Ч Н О С Т И

Пифагорийская школа. Пифагор основал братство религилзного, философского и научного характера с политическим уклоном. Труды, приписываемые обычно Пифагору, относятся не только к легендарному Пифагору, но вообще к трудам этой школы между 585 и 400 г. до н. э .

В  своей космологической концепции Пифагор отказался от монистической идеи первичной субстанции, породившей всю Вселенную. Его концепция дуалистична, и в напряжении между двумя противоположными принципами -  ограниченное - неограниченное, нечетное - четное, единое - множественное, прямое - кривое, квадратное -  продолговатое -  он видел причину всякого развития.  Мало интересуясь материальными  элементами, которые могли бы дать представление о  генезисе различных составных частей Вселенной, Пифагор, увлеченный глубоким религиозным течением, охватившим Грецию того времени, стремился дать глобальную картину космоса в целом. Основу всего он видел в числе, о чем свидетельствует его девиз: “Все есть число”.

Наиболее  важным среди приписываемых пифагорейцам открытий было открытие иррационального в виде несоизмеримых отрезков прямой линии. Возможно, что оно было сделано в связи с исследованием геометрического среднего а:в = в:с, величиной, которая интересовала пифагорейцев и служила символом аристократии. Чему равно геометрическое среднее единицы и двойки, двух священных символов?  Это вело к изучению отношения сторон и диагонали квадрата, и было обнаружено, что такое отношение не выражается “числом”, то есть тем, что мы теперь называем рациональным числом (целым числом или дробью), а только такие числа допускались пифагорейской арифметикой. Другими словами, иррациональные числа были открыты, когда стало ясно, что некоторые отношения нельзя выразить с помощью целых чисел. Это открытие ознаменовало крушение пифагорейской точки зрения о представимости мира с помощью целых чисел и вызвало первый кризис в истории математики.

Элеаты. Влияние Элейской школы (V в. до н.э.) на  формирование абстрактной научной мысли огромно. Основатель этой школы, Парменид, был первым, кто строго различал чувственное и умопостигаемое, что привело к неизбежной конфронтации между опытом и требованиям разума. именно поэтому элеаты не приняли пифагорейскую доктрину, ставящую в соответствие всякой вещи число. если дискретные объекты можно представить целыми числами. то иначе обстоит дело в случае непрерывных  величин, таких, как длины, площади, объемы и.т.д., которые в общем случае можно интерпретировать как дискретные наборы единиц, лишь если допускать существование бесконечного числа очень малых элементов, из которых эти объекты состоят. В качестве реакции на эту последнюю концепцию Зенон Элейский (род. между 495 и 480 гг. до н.э.) сформулировал четыре парадокса, иллюстрирующих невозможность бесконечной делимости и всякого движения, если мыслить пространство и время состоящими из неделимых частей. Общая цель его аргументов показать те нелепости, к которым приходят, когда пытаются получить непрерывные величины из бесконечно малых частиц, взятых в бесконечном множестве. 

Исчисление бесконечно малых ведет свое начало от интуитивного представления греков о непрерывности, математической бесконечности и пределе, а также от тех трудностей, с которыми они столкнулись при попытках явно определить эти понятия. Эти три понятия были корректно определены  лишь в XIX в., когда математики захотели систематизировать достижения  своей науки, и им пришлось пересмотреть основания, чтобы подвести под математическое здание прочный фундамент.

Числа и геометрические величины. Мы видели, что пифагорейцы уподобляли числа геометрическим точкам: единицу - одной точке, некоторое другое число - группе точек, образующих некоторую геометрическую фигуру. Каждое число у них было дискретным набором единиц;  таким образом, пифагорейская  арифметика ограничивалась изучением положительных целых чисел и отношений целых чисел, которые не считались числами.

Всякая непрерывная величина - линия, поверхность, тело - могла быть отождествлена с некоторым соответствующим ей числом -  “количеством”(длина, площадь, объем).  Подобно тому как единица была общей мерой целых чисел,  величины должны были иметь общую единицу измерения - быть  с о и з м е р и м ы м и - и каждая величина отождествлялась с целым числом составляющих ее единиц. Эта попытка отождествить целые числа с непрерывными величинами, интерпретировать непрерывное в терминах дискретного ни к чему не привела и быстро провалилась. Решающую роль, как уже говорилось, в этом сыграло открытие иррациональных чисел.В квадрате со стороной 1 отношение диагонали к стороне равно; оно не выражается в виде отношений целых чисел и, значит,  вообще не имеет статуса в пифагорейской арифметике. Сторона и диагональ не имеют общей единицы измерения и называются  н е с о и з м е р и м ы м и.  Взаимное соответствие между величиной и числом, знакомое пифагорейцам, оказалось нарушенным. Если каждому числу соответствует некая длина, то какие числа нужно сопоставить несоизмеримым величинам?

Парадоксы Зенона и  понятие бесконечности. Именно в связи с открытием несоизмеримых величин в греческую математику проникло понятие бесконечности. В своих поисках общей единицы измерения для всех величин  греческие геометры могли бы рассмотреть бесконечно делимые величины, но идея бесконечности приводила их в глубокое смятение. Если даже рассуждения о бесконечном проходили успешно, греки в своих математических теориях всегда пытались его обойти и исключить. Их затруднения перед явным выражением абстрактных понятий бесконечного и непрерывного,противоположных понятиям конечного и дискретного, ярко проявились в парадоксах Зенона Элейского.

Доводами Зенона были  “апории” (тупики) ; они должны были продемонстрировать, что оба предположения заводят  в тупик.  Эти парадоксы известны под названием А х и л л е с, С т р е л а, Д и х о т о м и я (деление на два) и С т а д и о н. Они сформулированы так, чтобы подчеркнуть противоречия в понятиях движения и времени, но это вовсе не попытка разрешить такие противоречия.

Апория “Ахилл и черепаха” противостоит идее бесконечной делимости пространства и времени. Быстроногий Ахилл соревнуется в беге с черепахой и благородно предоставляет ей фору. Пока он пробежит расстояние, отделяющее его от точки отправления черепахи, последняя проползет дальше; расстояние между Ахиллом и черепахой сократилось, но черепаха сохраняет преимущество. Пока Ахилл пробежит расстояние, отделяющее его от черепахи, черепаха снова проползет еще немного вперед, и т. д. Если пространство бесконечно делимо ,  Ахилл никогда не сможет догнать черепаху. Этот парадокс  построен на трудности суммирования бесконечного числа все более малых величин и невозможности интуитивно представить себе, что эта сумма равняется конечной величине.

Еще более явным этот момент становится в апории “Дихотомия”:  прежде чем пройти некоторый отрезок, движущееся тело вначале должно пройти половину этого отрезка, затем половину половины, и так далее до бесконечности. Зенон мысленно строит ряд 1/2 + (1/2)2 + (1/2)3 + ..., сумма которого равна  1 , но ему не удается интуитивно постичь содержание этого понятия. Современные представления о  пределе и сходимости  ряда  позволяют утверждать, что начиная с некоторого момента расстояние между Ахиллом и черепахой станет меньше любого заданного числа , выбранного сколь угодно малым.

Парадокс “Стрела” основан на предположении, что пространство и время  составлены из неделимых элементов, скажем “точек” и “моментов”. В некий  “момент” своего полета стрела находится в некоторой “точке” пространства в неподвижном состоянии. Поскольку это верно в каждый момент ее полета, стрела вообще не может находиться в движении.

Здесь затронут вопрос о мгновенной скорости. Какое значение следует придать отношению x/t пройденного расстояния x к интервалу времени t , когда величина t становится очень малой ? Неспособные представить себе минимум, отличный от нуля, древние придали ему значение ноль. Ныне при помощи понятия предела правильный ответ находится немедленно : мгновенная скорость есть предел отношения x/t при t, стремящемся к нулю

Таким образом,все эти парадоксы связаны с понятием предела; оно стало центральным понятием исчисления бесконечно малых.

Парадоксы Зенона известны нам благодаря Аристотелю,который привел их в своей “Физике”, чтобы подвергнуть критике. Он различает бесконечность относительно сложения и бесконечность  относительно деления и устанавливает, что континуум бесконечно делим. Время тоже бесконечно делимо, и в конечный интервал времени можно пройти бесконечно делимое расстояние. Парадокс “Стрела”, который “является следствием предположения, что время составлено из моментов”, становится нелепым, если принять, что время бесконечно делимо.

                               Список литературы

1. Цейтен Г.Г. История математики в древности и в средние века. М.-Л.,1932

2. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. М.,Наука,1978

3. Богомолов С.А.  Актуальная бесконечность. М.-Л.,1934


<Орлов Святослав Григорьевич, РГГУ, 1 курс, предмет: “История матаматики”, 1996 г.>


     



рефераты
рефераты
© 2011 Все права защищены